Optionstilskud er blevet endnu mere almindelige som en form for kompensation i betragtning af udbredelsen af nystartede virksomheder inden for teknologi og biovidenskab. Deres prissætning er imidlertid almindeligt misforstået, og mange medarbejdere ser muligheder som en forvirrende billet til fremtidig rigdom.
Der er konsekvenser ved ikke at sætte prisen på optioner til eller tæt på fair markedsværdi (FMV) på tildelingstidspunktet, såsom IRC 409A i USA, som pålægger en bødeskattesats på optioner tildelt under FMV.
I lyset af dette har jeg skrevet denne artikel for at dække det grundlæggende i optionsprissætning, for at gøre det så bredt nyttigt som muligt, det er ikke bundet til nogen specifik skattelovgivning eller jurisdiktion. De diskuterede principper gælder primært for handlede optioner på børsnoterede aktier, men mange af heuristikkerne kan anvendes på ikke-handlede optioner eller optioner på ikke-handlede aktier.
Optioner, der kommer i form af calls og puts, giver en ret, men ikke en forpligtelse til en køber. Som et resultat kan almindelige vaniljemuligheder være noget eller intet værd ved udløbet; de kan ikke være en negativ værdi værd for en køber, da der ikke er nogen nettopengestrømme efter købet. En sælger af almindelige vaniljeoptioner er på den modsatte side af handlen og kan kun tabe så meget, som køberen vinder. Det er et nulsumsspil, når dette er den eneste transaktion.
Et call på en aktie giver en ret, men ikke en forpligtelse til at købe det underliggende til strikekursen. Hvis spotprisen er over strejken, vil indehaveren af et call udnytte det ved udløb. Udbetalingen (ikke overskud) ved udløb kan modelleres ved hjælp af følgende formel og plottes i et diagram.
Excel-formel for et opkald:= MAX (0, Share Price - Strike Price)
På samme måde kan et put, der giver ret til at sælge til strike price, modelleres som nedenfor.
Excel-formel for en Put:= MAX(0, Strike Price - Share Price)
Baseret på strejkekursen og aktiekursen på et hvilket som helst tidspunkt kan optionsprissætningen være i, på eller uden for pengene:
Out-of-the-money og at-the-money-optioner har ikke nogen iboende værdi for dem, men kan have en tidsværdi før udløb. Sondringen af pengelighed er relevant, da optionshandelsbørser har regler om automatisk udnyttelse ved udløb baseret på, om en option er in-the-money eller ej. For eksempel:CBOE's regler er:
Optionsclearing Corporation har bestemmelser om automatisk udnyttelse af visse in-the-money-optioner ved udløb, en procedure, der også kaldes udnyttelse ved undtagelse. Generelt vil OCC automatisk udøve ethvert udløbende equity call eller sætte på en kundekonto, der er $0,01 eller mere in-the-money, og en indeksoption, der er $0,01 eller mere in-the-money. Et specifikt mæglerfirmas tærskel for en sådan automatisk udnyttelse kan dog være den samme som OCC's.
Optionsprissætningen vil derfor afhænge af, om spotprisen ved udløb er over eller under strikekursen. Intuitivt vil værdien af en option før udløb være baseret på et eller andet mål for sandsynligheden for, at den er in-the-money med pengestrømmen tilbagediskonteret til en passende rente.
Selvom optioner har været i brug siden den historiske periode med græske, romerske og fønikiske civilisationer, fandt Fisher Black oprindeligt op med denne option prismodel i 1973, flittigt brugt nu, og forbinder den med udledningen af varmeoverførselsformlen i fysik. Modifikationerne af modellen af Scholes og Merton udviklede den til Black-Scholes-Merton-modellen. Formlen ser ud som følger:
Lad os ikke blive overvældet af disse udførlige formler og først forstå, hvad modellen faktisk viser. For opkald vil deres værdi før udløb afhænge af spotprisen på den underliggende aktie og dens tilbagediskonterede værdi, derefter strike-prisen og dens tilbagediskonterede værdi og endelig et vist mål for sandsynlighed. Komponenterne i denne opdeles som følger:
Resten af beregningen handler om at tilbagediskontere pengestrømmen med en kontinuerligt sammensat diskonteringsrente, justere for eventuelt udbytte eller pengestrømme før udløb og, for sandsynlighed, ved at bruge en normalfordeling.
BSM-modellen antager en normalfordeling (klokke-kurvefordeling eller gaussisk fordeling) af kontinuerligt sammensatte afkast. Modellen indebærer også, at når forholdet mellem den nuværende aktiekurs og udnyttelseskursen stiger, stiger sandsynligheden for at udnytte call-optionen, idet N(d)-faktorer tages tættere på 1, og det betyder, at usikkerheden ved ikke at udnytte optionen falder. Når N(d)-faktorerne kommer tættere på 1, kommer resultatet af formlen tættere på værdien af købsoptionens indre værdi. Den anden implikation er, at når variansen (σ) stiger, divergerer N(d)-faktorerne og gør købsoptionen mere værdifuld.
N(D2) er sandsynligheden for, at aktiekursen er over strikekursen ved udløb. N(D1) er betegnelsen for beregning af den forventede værdi af kontanter/aktietilstrømning ved udløb, hvis aktiekursen er over strikekursen. N(D1) er en betinget sandsynlighed.
En gevinst for opkaldskøberen opstår fra to faktorer, der opstår ved udløb:
Forestil dig et opkald til strejkepris $100. Hvis spotprisen på aktien er $101 eller $150, er den første betingelse opfyldt. Den anden betingelse handler om, hvorvidt gevinsten er $1 eller $50. Udtrykket D1 kombinerer disse to til en betinget sandsynlighed for, at hvis spot ved udløb er over strejke, hvad vil dens forventede værdi være i forhold til den aktuelle spotpris.
Følgende model er, hvad jeg bruger i Excel til BSM-beregninger (de skraverede celler er beregninger knyttet til andre celler):
Formlen for dette er som følger:
Celle B2 =VærdiansættelsesdatoCelle B3 =Aktie/Spot-prisCelle B4 =StrikeprisCelle B5 =Implicit volatilitetCelle B6 =Risikofri kurs annualiseretCelle B7 =Tid til udløb i år (Beregnet som (B10-B2)/365)Celle B8 =Udbytteafkast ( Beregnet som B11/B3)Celle B9 =Antal optioner (indstil det til 1, for at beregne værdien, der ikke er baseret på en kontrakt)Celle B10 =UdløbsdatoCelle B11 =Årligt udbytte i valutatermerCelle B13 =D1 =(LN((B3) \EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7))Celle B14 =D2 =B13-B5SQRT( B7)Celle B15 =N(D1) =NORMSFORDELING(B13)Celle B16 =N(D2) =NORMSFORDELING(B14)Celle B17 =Kald =(B3\EXP(-B8\B7))\B15-B4\EXP(- B6\B7)\B16Celle B18 =Put =(B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)
Et opkald lader køberen nyde fordelen af en aktie uden egentlig at holde den i en periode indtil udløb. Intuitivt, hvis opsiden udbetales i løbet af tilbageholdelsesperioden, så burde opkaldene være mindre værdifulde, da retten til denne opside ikke er afledt af optionsindehaveren. Det omvendte gælder naturligvis i tilfælde af puts. Denne intuition kan ses i de følgende grafer for en udbyttebetalende aktie med 0%, 2% og 5% udbytte. Modellen forudsætter, at der også udbetales udbytte til en løbende sammensat sats.
Nu hvor der diskuteres særlige udbytter på grund af ændringer i den amerikanske skattelov, er det værd at nævne, at du vil se en justeringsfaktor til handlede optioner for engangsudbytter over en vis procentdel af aktiekursen. Særligt engangsudbytte har stor indflydelse på prisfastsættelsen af optioner. I 2004, da MSFT annoncerede et ekstra engangs-særligt udbytte på $3 pr. aktie mod dets normale $0,08 kvartalsvis, blev optionerne justeret.
Options Industry Council (OIC) har en gratis lommeregner, som viser de handlede optioner og grækerne. Jeg har analyseret værdierne for AAPL fra 1. oktober 2018 fra Options Industry Councils hjemmeside.
Følgende graf er for AAPL Puts, der udløber den 12. oktober 2018 den 1. oktober 2018 med den lodrette linje, der angiver sidste pris.
Følgende gælder for AAPL-opkald, der udløber den 12. oktober 2018 den 1. oktober 2018.
Den sidst handlede pris på opkald og puts er tydeligt korreleret til strejkeprisen og danner denne hockeystav-agtige graf. Grunden til, at prikkerne ikke er på linje med en linje, er, at nogle af optionerne ikke blev handlet den 1. oktober, og den sidst handlede pris på disse optioner er ældre, især for deep in-the-money optioner.
Hvad sker der, når spotprisen ændres for AAPL? AAPLs pris ændres med nanosekunder på børsen. Intuitivt, og baseret på BSM-modellen, bør optionens prissætning også ændre sig. Dette måles ved Delta, som er tilnærmelsen af, hvordan værdien af en option ændres ved en ændring i spotprisen. Det er en omtrentlig værdi af, hvor meget optionsværdien bevæger sig for en ændring i $1 af det underliggende.
Delta anvendes som et afdækningsforhold. Hvis du ønsker at afdække en underliggende position med en option, der har et delta på 0,5, skal du bruge to muligheder (2 x 0,5) for fuldstændigt at afdække positionen (og gøre den delta-neutral). Delta er dog en tilnærmelse. Det fungerer godt for en lille bevægelse i prisen og i korte perioder. Vi ser forholdet mellem opkaldet og ændringer i aktiekursen nedenfor samt ændringen i delta over det samme område af aktiekurser. Opkaldspriserne bevæger sig ikke jævnt som en linje, og følgelig bevæger det beregnede delta sig som en kurve. Dette bliver mere mærkbart tættere på strejkeprisen.
Ændringen i delta for en ændring er $1 værdien af det underliggende kaldes Gamma. Gamma er altid en positiv værdi og Delta er positiv for et opkald og negativ for et put (for køberen). Det betyder også, at for et opkald vil den højeste %-ændring ske, når den skifter fra at være uden for pengene til at være i pengene eller omvendt. Gamma eller ændringshastigheden i delta nærmer sig nul, når strejkeprisen bevæger sig væk fra spotprisen (for dybe out-of-the-money eller in-the-money option-positioner).
En options pris afhænger af, hvor lang tid den skal løbe for at udløbe. Intuitivt, jo længere tid der udløber, jo større er sandsynligheden for, at det ender i pengene. Derfor har længere daterede optioner en tendens til at have højere værdier, uanset om de er puts eller calls. Tidsværdien falder efterfølgende til 0, når den nærmer sig udløbet.
Forfaldshastigheden er ikke en lige linje. Det er lettere at tænke på det ved at bruge analogien med en bold, der ruller ned ad en skråning. Hastigheden stiger, efterhånden som bolden ruller længere ned af skråningen - langsomst er det øverst og hurtigst i bunden (ved udløb). Forfaldshastigheden er repræsenteret af Theta og er positiv for opkald og puts.
Renter har indflydelse på optionens værdi gennem brugen som diskonteringsrente. Intuitivt indebærer opkald at få fordelen ved at holde de underliggende aktier uden at uddele den fulde pris. Fordi en opkaldskøber ikke behøver at købe den fulde pris på aktien, kan forskellen mellem den fulde aktiekurs og call-optionen teoretisk investeres, og derfor bør call-optionen have en højere værdi for højere diskonteringsrenter. Følsomheden over for rentesatser måles af Rho, hvor højere renter øger værdien af opkald og omvendt for puts.
Vega, selvom det faktisk ikke er i det græske alfabet, bruges til at angive optionens følsomhed over for volatilitet. Volatilitet refererer til den mulige størrelse af prisbevægelser op eller ned. Jo højere volatilitet fra en spotpris, jo større er sandsynligheden for, at prisen kan nå strejken. Derfor, jo højere volatilitet, jo højere pris på optioner.
Volatilitet er normalt tilbagefyldt ved hjælp af implicit volatilitet (I"). Implicit volatilitet beregnes med BSM-modellen ved hjælp af de handlede priser på optioner. IV er blevet en handlet aktivklasse i sig selv gennem VIX optioner.
Hvis du køber en option i et meget roligt marked, og der pludselig er en op- og nedtur i prisen på det underliggende, hvor prisen slutter tilbage, hvor den var før, kan du se, at prissætningen af optioner er steget i værdi. Dette er fra en revision af dets IV-estimat.
For at opsummere effekten af Vega, og faktisk de andre grækere, på priserne på optioner, se venligst følgende tabel.
Forestil dig, at du har en portefølje, kreativt navngivet "A", som kun har et europæisk call på AAPL ved strejke $250, der udløber den 21. december 2018, og en aktie af den underliggende APPL-aktie:
Derefter opretter du en anden portefølje, "B", som kun har et europæisk call på AAPL ved strejke $250, der udløber den 21. december 2018, og en amerikansk statslig skatkammerbevis, der forfalder samme dag til en udløbsværdi på $250.
Som du kan se, har både portefølje A og portefølje B samme udbytte ved udløb. Dette princip kaldes put-call paritet. En anden måde at angive det på er:
Call Premium + Cash =Put Premium + Underliggende
eller
$$C + \frac{X}{\left ( 1 + r \right )^t} =S_0 + P$$
Denne ligning kan omarrangeres for at efterligne andre positioner:
Dette vil kun fungere med udløb, opkald og putter i europæisk stil til samme strike-pris.
Medarbejderaktieoptionerne for ikke-handlede virksomheder er forskellige fra børshandlede optioner på forskellige måder:
Ud over disse er værdiansættelse som bekendt også et helt andet boldspil for private virksomheder. Som vi diskuterede, er delta (aktiekurs), theta (tidsværdi), rho (rente) og vega (volatilitet) vigtige determinanter for værdiansættelse af optioner. Disse gør værdiansættelsen af medarbejderaktieoptioner mere udfordrende, da Delta, Gamma og Volatilitet er særligt svære at bestemme, da selve aktien muligvis ikke handles.
For en medarbejder med aktieoptioner er de vigtigste faktorer at huske på, at:
Indstillinger er ikke så komplicerede, når du forstår deres komponenter. Tænk på dem som mere fleksible byggesten, så du kan konstruere og administrere finansielle porteføljer på en mindre kapitalintensiv måde. At forstå implikationerne af grækerne er det første skridt i retning af at forstå deres adfærd.
Som en kort ordliste nedenfor er nogle nøgletermer nævnt i artiklen, opsummeret på en kortfattet måde:
Offentliggørelse:Synspunkterne i artiklen er udelukkende forfatterens. Forfatteren har ikke modtaget og vil ikke modtage direkte eller indirekte kompensation til gengæld for at udtrykke specifikke anbefalinger eller synspunkter i denne rapport. Forskning bør ikke bruges eller stole på som investeringsrådgivning.